Kaose teooria: mis vahe on kaootilise ja juhusliku käitumise vahel?


Vastus 1:

Lühijutt on järgmine. Juhuslik käitumine ei ole determinantne: isegi kui te teaksite täiuslikult detailselt kõike, mida antud ajahetkel süsteemist teada saab, ei suudaksite te siiski tuleviku olekut ennustada. Kaootiline käitumine on seevastu täiesti deterministlik, kui teate täpsemat algset olekut, kuid igasugune ebatäpsus algseisundis, ükskõik kui väike, kasvab aja jooksul kiiresti (eksponentsiaalselt).

Juhuslikud süsteemid

Mündi viskamine või loterii on juhuslike süsteemide näited [*]. Võite mündi visata miljon korda, teate tulemust iga kord, kuid see ei aita teil järgmise viskamise tulemust üldse ennustada. Samamoodi saate teada loterii võitnud numbrite täielikku ajalugu, kuid see ei aita teil loteriil võita. (Kui see kõlab üllatavalt, vaadake Mängija eksitust.)

[*] Pean siin silmas idealiseeritud süsteeme, kus juhuslikkus on ilmne.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

Intuitiivsemaks muutmiseks kujutlege, et proovite leida joodiku. Ta lahkus baarist südaööl ja sina otsid teda tund hiljem. Kuna ta on purjus, kõnnib ta sihitult ja te ei saa täpselt teada, kus ta asub. Kuid teades, et ta kõnnib ühe sammuga sekundis, ja eeldades, et iga samm võetakse uues, täiesti juhuslikus suunas, teate, et tunni aja pärast ei saa ta olla kaugemal kui 60 sammu (võib-olla sada jalad) sealt, kust ta lahkus.

Kaootilised süsteemid

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(Vikipeediast)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

Püha püha! Punktid on kõikjal kohal! See tähendab, et kuigi me alustasime kahe väga sarnase algtingimusega, näevad need kaks jada mitte ühesugused. See on kaos.

Kaose eristamine juhuslikkusest

See on tegelikult mittetriviaalne eristada juhuslikke ja mittejuhuslikke numbreid. Näiteks oletame, et ma ütlen teile, et mündi viskamise tulemus on 1 (1 on pead, 0 on sabad): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (see on neliteist). Kas see tundub teile juhuslik? Olen kindel, et ei tee. Kuid ma leidsin, et tõelise juhuslike arvude generaatori (random.org) abil genereeritud kümne tuhande mündivõtmise korral ilmub see järjestus kaks korda. Samad kümme tuhat mündivõtmist sisaldavad ka järjestust [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] kahel korral ja [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( kaheksateist nulli) üks kord. Muidugi, need juhtumid on haruldased (arvestades mis tahes jada pikkusega 14, võiks arvata, et see ilmub ühes umbes 16000 joonistusest), kuid samal ajal pole üllatus, et näeme neid siin, kuna kasutasime 10000 proovi neid leida. Asi on aga selles, et kui keegi annab teile proove juhuslikust järjestusest, ei saa proovi enda kohta midagi öelda, kas valim oleks pärit juhuslikust protsessist või mitte.

Võrrelge nüüd ülaltoodud järjestusi järgmiselt: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0] See näeb juhuslikum välja, eks? Noh, see loodi minu arvutis pseudorandom-generaatori abil, mis tähendab, et see arvutatakse tegelikult kaootilise süsteemi dünaamikast deterministlikult! See näitab, kui keeruline on eristada "tõelist" juhuslikkust sellest, mida saate, kui te lihtsalt ei tea süsteemi täpset olekut.

Ettearvamatus

Oluline on mitte segi ajada juhuslikkust ettearvamatusega. Juhuslik käitumine pole otseses mõttes etteaimatav (täiuslikke ennustusi ei saa teha), kuid see võib olla suure täpsusega etteaimatav (nagu juhusliku jalutuskäigu puhul, millest ma varem kirjutasin). Seevastu võib ettearvamatus olla tingitud juhuslikkusest (näiteks võimetus täpselt ennustada, millal radioaktiivne lagunemine aset leiab), kuid enamasti on see lihtsalt tingitud sellest, et me ei suuda süsteemi algseisundit piisavalt täpselt mõõta ja seda piisavalt täpselt jälgida. (nagu ilmaennustamise korral või üritades ennustada, kus kaldale pritsivast lainest langeb tilk vett [see on Feynmani näide, millele ma praegu ei leia viidet]).


Vastus 2:

Sellele küsimusele on vastusena esitatud suurepäraseid kaose teooria ja juhuslikkuse kirjeldusi, kuid võib-olla tasub märkida, et kaose teooria kontseptuaalne raamistik on paljudes erinevates valdkondades äärmiselt väärtuslik; Need on valdkonnad, kus strateegidel peab olema teatav kontroll keeruka olukorra üle, kus tulemuste ennustamiseks on liiga palju üksteist mõjutavaid tegureid.

Loodus on hea näide strateegist, kes kasutab kaose teooria kontseptuaalset raamistikku optimaalselt tõhusate bioloogiliste süsteemide loomiseks. Kaose teooria kasuliku kasutamise võti on mõistmine, et see on seotud dünaamiliste süsteemidega, mis koosnevad paljudest omavahel seotud elementidest. Selliste süsteemide suhtes kehtivad põhilised füüsikalised seadused, mille tõttu nad üritavad alati püsiseisundisse jõuda (kõige vähem energiat). Kuigi see püsiseisund ei ole ennustatav, saab seda säilitada komponentide interaktsioonide suure hulga variatsioonide korral.

Kaose teooria ütleb meile, et kui komponentide interaktsioonid jõuavad kriitilise läveni, muutub süsteem kaootiliseks ja settib seejärel uue ja erineva püsiseisundi. Loodus kasutab seda nähtust evolutsioonilise progressi esilekutsumiseks. Geneetilisi variatsioone saab enamasti bioloogilises süsteemis taluda, kuid alati ja jälle võib geneetilistest muutustest piisata, et põhjustada bioloogilise süsteemi märkimisväärset erinevat toimimist. See võib olla parem või halvem. Bioloogiliste süsteemide vaheline konkurents tagab paremaks muutuvate süsteemide säilimise ja madalamate muudatuste kaotamise.

Ehkki nad ei pruugi kaoseteooriast midagi teada, on arukad majandusteadlased ja äriinimesed sellest nähtusest teadlikud ning kui süsteem ei käitu nii, nagu nad tahaksid, käituvad nad muudatused, et hõlmata see uude olekusse. Nad peavad olema piisavalt vaprad, et hakkama saada sellega kaasneva lühiajalise kaosega, ja olema valmis muutused lõpetama, kui olukord halveneb, kuid ainult nii saate keerukate süsteemidega hakkama saada ja neid juhtida. Kui kahju on meie poliitikutele kaoseteoorias koolitamata.


Vastus 3:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 4:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 5:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 6:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 7:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 8:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 9:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 10:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 11:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 12:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.


Vastus 13:

Võib-olla pole selles mingis fundamentaalses mõttes vahet,

mis tähendab, et looduses pole sellist asja nagu tõeline juhuslikkus.

Võib-olla on ainult juhuslikkuse aste, mille määrab

nähtuse entroopia aste. Probleem on nii täiuslik

juhuslikkusel puudub igasugune infosisu ja see,

iseenesest on teave. Omamoodi paradoks.