Kuidas kirjutada 85 kahe ruudu erinevusena?


Vastus 1:

Lahendan sedalaadi teadusliku, mitte matemaatika stiili.

Võib-olla on lihtsaim viis kiire odava vastuse leidmiseks jälgida mustrit järjestikuste ruutudena:

2212=41=32^2 - 1^2 = 4–1 = 3

3222=94=53^2 - 2^2 = 9–4 = 5

4232=169=74^2 - 3^2 = 16–9 = 7

See on huvitav. Kas järjestikused ruudud erinevad järjestikuste paaritute arvude järgi? Proovime teha mudeli:

Miks on järjestikuste ruutide erinevused paaritu arvuga jadas?, Matemaatika pinu vahetuses.

Ok, ma vaatan oranži L-kuju. See võib olla hea mudel. Tasub teada saamiseks pisut algebrat lihvida. Vaatame, kas leiame järjestikuste ruutude erinevuse valemi:

n2(n1)2=n2n2+2n1=2n1n^2 - (n-1)^2 = n^2 -n^2 +2n-1 = 2n-1

Jah. Seega võime lihtsalt matemaatikast näidata, et järjestikused ruudud erinevad järjestikuste paaritute arvude järgi. Me ei vajanud andmeid ja mudelit. Ah.

Igatahes nüüd peame lihtsalt lahendama

2n1=85.2n-1 = 85.

n=43.n = 43.

Nii

432422=85. 43^2 - 42^2 = 85.

Uh ... lemme hüppab kalkulaatori.

Njah, jah, see on õige. (Sain esimest korda n = 42, kuid kalkulaator päästis mind ja ma muutsin oma vastust.)

Vean kihla, et see pole ainus vastus. See on lihtsalt lihtne viis ühe vastuse leidmiseks.


Vastus 2:

Oletame, et teil on positiivsed täisarvud A, B sellised

A2B2=85A^2 - B^2 = 85

.

Ruutide erinevuse arvestamine:

A2B2=(A+B)(AB)=85A^2-B^2 = (A+B)(A-B)=85

Meil on see olemas

A>BA>B

ja meil on see olemas

A+B=MA+B = M

AB=NA-B = N

kus

MN=85MN = 85

ja

M>NM>N

. 85 saab arvestada ainult kui 85 * 1 ja 17 * 5.

2A=M+N2A = M+N

ja

2B=MN2B = M-N

, nii

M+NM+N

ja

MNM-N

peavad olema paarisarvud, mis toimub ainult siis, kui M ja N on mõlemad paaris või mõlemad.

Üldistamine: kui “85” oleks mõni teine ​​arv, siis selleks, et võrrandil oleks täisarvu lahendid, peab “85” olema paaritu (nii et M ja N on paaritu) või “85” peab olema jagatav arvuga 4 (nii et M ja N võivad olla mõlemad võrdsed). Kui “85” jaguneb 4-ga, peavad M ja N mõlemad olema “85” võrdsed tegurid.


Vastus 3:

Seda tüüpi probleemide lahendamiseks on ilmselt vähe võimalusi, kuid arvan, et järgmine on kõige otsesem.

Eeldame, et on olemas terve arv lahendusi ja vaatame, kuhu see meid viib.

Oletame, et kaks ruutu on a ja b. Siis võime kirjutada: (järgnevas 2 tähendab ruutu)

a2 - b2 = 85

Vasakpoolset külge saame arvutada kui (ab) (a + b) nii, et

(ab) (a + b) = 85

Nüüd otsime tegurid 85. Kuna arv lõpeb 5-ga, jagatakse see arvuga 5.See annab 5 * 17. Need on mõlemad algarvud, nii et muid tegureid pole. Välja arvatud (1 * 85).

Niisiis: (ab) (a + b) = 5 * 17

Seega võime eeldada: (ab) = 5 (a + b) = 17

Nende liitmisel elliminaadiga b saadakse: 2a = 22, saades a = 11

Nii et 11-b = 5 annab b = 6

Seega a = 11 ja b = 6

Testimiseks: 11 ruut = 121, 6 ruut = 36,121 - 36 = 85

Proovime teist võimalust (1 * 85) :( ab) (a + b) = 1 * 85. (Ab) = 1, (a + b) = 85See annab 2a = 86, nii et a = 43 ja b = 42

Seega on täpselt kaks lahendust: (1) a = 11 ja b = 6 (2) a = 43 ja b = 42