Kuidas saaks määratleda elektrivälja kahe punkti vahelise potentsiaalierinevuse ja tuletada seose elektripotentsiaali ja potentsiaalierinevuse vahel?


Vastus 1:

First,thereisFaradayslawforelectrostatics.Thissaysthatthecurl×oftheelectricfieldintensity[math]E[/math]iszero.Thatmeanstheelectricfieldmustformessentiallystraightlinesandcannotformloops.First, there is Faraday’s law for electrostatics. This says that the curl \nabla \times of the electric field intensity [math]\vec{E}[/math] is zero. That means the electric field must form essentially straight lines and cannot form loops.

×E=0\nabla \times \vec{E} = 0

Teiseks on olemas vektorkultuuri identiteet, mis ütleb, et skalaarfunktsiooni gradiendi kõverus peab olema null.

×(V)=0\nabla \times (\nabla V) = 0

Gradient on suurenemise kiirus ja suund. Kui sel on lokkis, siis see tiirleb enda ümber. Kuidas saaks funktsioon enda ümber keerduda, samal ajal ka pidevalt suurenedes? See on võimatu ja tegelikult joonistas see kunstniku nime Escher.

Kui vaatate neid kahte võrrandit piisavalt kaua, näete, et kuna elektrivälja kõverus on null, peame saama elektrivälja kirjutada teise funktsiooni gradiendina. Me nimetame seda muud funktsiooni elektripotentsiaaliks.

E=V\vec{E} = - \nabla V

Negatiivne märk lisati lihtsalt selleks, et olla kooskõlas meie valitud märgimärgistusega, mis ütleb, et elektriväljad ulatuvad positiivsest negatiivse potentsiaalini. Seda võrrandit kasutatakse elektrivälja arvutamiseks, arvestades elektripotentsiaali. Elektriväljale antud elektripotentsiaali lahendamiseks on meil veel natuke tööd teha.

TheforceFonacharge[math]Q[/math]duetoanappliedelectricfield[math]E[/math]comesfromtheLorentzforcelaw.Forelectricfields,thisisThe force \vec{F} on a charge [math]Q[/math] due to an applied electric field [math]\vec{E}[/math] comes from the Lorentz force law. For electric fields, this is

F=QE\vec{F} = Q \vec{E}

Theworkittakestomovethatsamechargefrompointatopoint[math]b[/math]adistanceof[math]d[/math]isThe work it takes to move that same charge from point a to point [math]b[/math] a distance of [math]d[/math] is

F=Fd=QdE\vec{F} = -|\vec{F}|d = -Qd|\vec{E}|

Negatiivne märk selles võrrandis näitab, et laengu jõud on väline. Selle võrrandi saab üldistada diferentsiaaltööle, mida teostatakse, liigutades laengut väikese vahega.

dW=QEddW = -Q \vec{E} \bullet d \vec{\ell}

Thetotalworkmovingthethechargefrompointatopoint[math]b[/math]isobtainedbyintegratingtheaboveexpressionoversomepathfrompoint[math]a[/math]topoint[math]b[/math].Thechoiceofthepathcanbeanythingandmeanderaroundwildlyifyouwish.Usuallythepathischosenthatsimplifiesthemath.The total work moving the the charge from point a to point [math]b[/math] is obtained by integrating the above expression over some path from point [math]a[/math] to point [math]b[/math]. The choice of the path can be anything and meander around wildly if you wish. Usually the path is chosen that simplifies the math.

W=abdW=QabEdW = \int_{a}^{b} dW = Q \int_{a}^{b} \vec{E} \bullet d \vec{\ell}

ThepotentialdifferenceisworkWdividedbycharge[math]Q[/math]andwegetThe potential difference is work W divided by charge [math]Q[/math] and we get

VbVa=WQabEdV_b - V_a = \frac{W}{Q} \int_{a}^{b} \vec{E} \bullet d \vec{\ell}

ThisishowtocalculatepotentialdifferenceVabbetweentopointsgiventheelectricfield[math]E[/math].This is how to calculate potential difference V_{ab} between to points given the electric field [math]\vec{E}[/math].

Kui soovite näha seda selgitatud ja palju muud elektripotentsiaali kohta, kaaluge loengu 4c video vaatamist siin:

EE3321 EMF | EM Lab

Loodan, et see aitab!